miércoles, 20 de julio de 2011

derivadas

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

monica parraga 11-01 JT

martes, 19 de julio de 2011

Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad $y\,$ cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad $x\,$ .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto $P\,$ de la función por el resultado de la división representada por la relación $\frac{dy}{dx}$ , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto $P\,$ de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto $P\,$ , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de $\frac{dy}{dx}$ es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto $a\,$ se define como sigue:

$f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ ,

Si este límite existe, de lo contrario,

f'

no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ ,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de $a\,$ . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

LESLY SANCHEZ ...

Derivadas de funciones simples

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} (cx) = c$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{donde } x^c \mbox{ y } cx^{c-1} \mbox { se encuentran definidos}$

${d \over dx} (cx^n) = cnx^{n-1}$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -cx^{-c-1} = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}(\sqrt[n]{x}) = { 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} }\, \mbox{sea }x > 0$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

${d \over dx} f(x)^n\ = nf(x)^{n-1} \cdot {d \over dx}f(x)$

Paula Buitrago..

deriva de una funcion lineal

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

vanessa acero

derivadas

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de

f

, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto

x

. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

lunes, 18 de julio de 2011

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x₀ ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):
Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es

derivable en el punto x₀.
Significado de la derivada

Puesto que
la derivada de la función en un punto x₀ no es otra cosa que la

pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x₀, f(x₀ )).

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x₀ = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.
Calcular la derivada de la función
f(x) =  en el punto 2.
Resolución:
   (conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x² en el

punto de abscisa 2.
Resolución:La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).La pendiente (m)

de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2),

luego la ecuación de la recta es de la forma

y - y₀ = m (x - x₀)y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces
y - 4 = 4(x - 2)
y - 4 = 4x - 8
4x - y - 4 = 0.
Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por
Resolución:

a) Derivabilidad en x₁ = 1.
Se han de considerar dos casos: 1º Lo que pasa a la derecha de este

punto, para ello consideraremos h>0 Si h > 0, lógicamente (x₁ + h) = 1 + h > 1 y en este caso

estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo

que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto: f (1) = 1 y

f (1+h) = 1 + h Este límite es el

«límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene

por pendiente 1. 2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello

consideraremos h<0 Si h < 0, lógicamente (x₁ + h) = < 1 y en este

caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la izquierda,

(por lo que la función es la línea azul

f(x) = x². Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = (1 + h)² = 1 + 2h + h²Este límite es el

«límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la

función f(x) no es derivable en x = 1.

b) Derivabilidad en x = 0.En este caso no es necesario considerar

h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero

(h es muy pequeño) la función es f(x) = x².

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x₀ = 0 y la

pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

Estudiar la derivabilidad de la función
f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por
Resolución:

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es

derivable en dicho punto.

¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función
en un punto?Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado
ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e
izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».
Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x₀, f(x₀)), existen las

derivadas a derecha e izquierda de x₀ y tienen que ser

iguales; de lo contrario no existiría f'(x₀ ).

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean
distintas. En este caso no existe la tangente en (x₀, f(x₀ )), sino dos semirrectas, cada una
tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto
ocurre se llaman puntos angulosos. Los puntos x₁ de la primera figura y x₀ de la segunda
que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en e
llos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.No es difícil,
consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso,
infinitos puntos.Tangente a una curva en un puntoEl concepto de derivada facilita la definición
de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro
punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el
primero.Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x₀. Para probar que la función es

continua en él, es preciso demostrar que

o lo que es equivalente, queVeamos, si la expresión f(x₀ + h) - f(x₀) la

multiplicamos y dividimos por h

aqui vemos que el primer término del producto anterior es precisamente

la derivada de f(x) en el punto x₀, ( recordar que partímos de la

tesis que f(x) es derivable) es decir vale f ' (x₀) y el segundo término
vale 0 pues es el límite de h cuando h tiende a cero.-

Así pues tenemos que:
Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en

un punto donde ésta no sea continua.Por el contrario, puede darse el caso de

una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso

infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los

puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

Cálculo diferencial

El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal.
Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes

de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el
cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes
es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables
es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee).
Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite.
El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial
y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcióncambia conforme
un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una
tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de $f (x)$ en cada punto $x$ .
Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus
puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad
de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

JESSICA MARTINEZ....