DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )): Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0. Significado de la derivada Puesto que la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).   Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolución: Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).    Por tanto, f '(1) = 3. Calcular la derivada de la función f(x) =  en el punto 2. Resolución:    (conjugado del numerador) Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:    Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2. Resolución:La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).La pendiente (m)  de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2),  luego la ecuación de la recta es de la forma y - y0 = m (x - x0)y - 4 = f '(2) (x - 2).  La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0. Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por   Resolución: a) Derivabilidad en x1 = 1. Se han de considerar dos casos: 1º Lo que pasa a la derecha de este  punto, para ello consideraremos h>0 Si h > 0, lógicamente  (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo  que la función es la línea recta roja  f(x) = x. Por tanto: f (1) = 1 y    f (1+h) = 1 + h   Este límite es el  «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene  por pendiente 1. 2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello  consideraremos h<0 Si h < 0, lógicamente (x1 + h) =  < 1 y en este  caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la izquierda,  (por lo que la función es la línea azul   f(x) = x2. Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = (1 + h)2 = 1 + 2h + h2Este límite es el  «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2. Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la  función f(x) no es derivable en x = 1. b) Derivabilidad en x = 0.En este caso no es necesario considerar       h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.  El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la  pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas). Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por Resolución:   Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto. ¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado  ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e  izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra». Consecuencias de la definición de derivada en un punto 1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0 ). Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean  distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una  tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto  ocurre se llaman puntos angulosos.  Los puntos x1 de la primera figura y x0 de la segunda  que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en e llos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.No es difícil,  consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso,  infinitos puntos.Tangente a una curva en un puntoEl concepto de derivada facilita la definición  de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro  punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el  primero.Propiedad Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. Demostración: Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que o lo que es equivalente, queVeamos, si la expresión f(x0 + h) - f(x0) la multiplicamos y dividimos por h aqui vemos que el primer término del producto anterior es precisamente la derivada de f(x) en el punto x0, ( recordar que partímos de la tesis que f(x) es derivable) es decir vale f ' (x0) y el segundo término vale 0 pues es el límite de h cuando h tiende a cero.- Así pues tenemos que: Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen. Cálculo diferencial El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal.  Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes  de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el  cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial. En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes  es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables  es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee).  Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite.  El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial  y la que lo diferencia claramente del álgebra. Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una  función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcióncambia conforme  un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una  tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x.  Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus  puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad  de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

JESSICA MARTINEZ....